Η σημασία του μεγέθους του stack στο Πόκερ
Η στρατηγική των τουρνουά, είναι πάντα ένα φλέγον θέμα. Αφορμή για το άρθρο αυτό, στάθηκε ο προβληματισμός μου σχετικά με την θέση του Μέισον Μάλμουθ (Gambling Theory, σελ. 220), ο οποίος επιχειρεί να ανατρέψει την άποψη του Ντέιβιντ Σκλάνσκι, όπως την παρουσιάζει στο βιβλίο του «The theory of poker». Ο Ντέιβιντ Σκλάνσκι ισχυρίζεται, ότι αν διαθέτεις ένα μεγάλο stack και το τουρνουά βρίσκεται σε τελικό στάδιο, θα πρέπει να είσαι πολύ συντηρητικός στα bets που θα κάνεις και ότι γενικά, σωστά είναι μόνον εκείνα, τα οποία (αν έχεις callers), θα κερδίσεις στην συντριπτική πλειοψηφία των περιπτώσεων.
Γιατί, ποιος ο λόγος να εμπλακείς σε αμφίβολες καταστάσεις και να διακινδυνεύσεις να μικρύνεις ένα μεγάλο stack, το οποίο, αν καταφέρεις να διατηρήσεις, θα σε οδηγήσει ούτως ή άλλως στα λεφτά;
Είναι πολύ καλύτερα, λοιπόν, να διαφυλάξεις όσο μπορείς το stack σου και να αφήσεις τους άλλους «να βγάλουν τα κάστανα από τη φωτιά». Ο Μέισον Μάλμουθ ωστόσο, διαφωνεί. Τουλάχιστον, ως προς την αντιμετώπιση ενός μικρού stack, από ένα μεγαλύτερο.
Η άποψή του στηρίζεται στο εξής : Στα τουρνουά, δεν πληρώνονται όλοι όσοι μπαίνουν στα λεφτά, με το ίδιο χρηματικό ποσό, αλλά, οι πρώτες θέσεις πληρώνονται δυσανάλογα πολύ, σε σχέση με τις τελευταίες. Αποτέλεσμα αυτού, είναι το ότι η αξία των chips μεταβάλλεται. Αυτό είναι απολύτως σωστό και εύκολο να αποδειχτεί.
Τουρνουά με prize pool
Ας δούμε ένα παράδειγμα: Θα υποθέσουμε ότι διεξάγεται ένα τουρνουά με prize pool 1.000.000 (ευρώ, ή δολάρια, ή…) και στο οποίο έχουν απομείνει τρεις παίκτες. Από αυτούς πληρώνονται οι δύο, ο μεν πρώτος 700.000, ο δε δεύτερος 300.000.
Τα stacks των παικτών έχουν ως εξής :
Παίκτης Α = 150.000 chips
Παίκτης Β = 150.000 >>
Παίκτης Γ = 700.000 >>
Οι τρεις παίκτες θεωρούνται ισάξιοι μεταξύ τους, άρα οι πιθανότητες του καθενός για την πρώτη θέση, είναι απλώς, ανάλογες των stacks. Οι πιθανότητες συνεπώς, να βγει πρώτος ο Γ είναι 70%. Οι πιθανότητες να βγει δεύτερος υπολογίζονται ως εξής : Στις 15% των περιπτώσεων, θα βγει πρώτος ο Α. Τότε, η πιθανότητα ο Γ να πάρει την δεύτερη θέση έναντι του Β, είναι ανάλογη των stacks, δηλαδή 700.000 / (700.000 +150.000). Άλλες 15% πιθανότητες για να βγει πρώτος έχει και ο Β, οπότε θα ισχύει ότι και προηγουμένως. Άρα :
Πιθανότητες Γ για την πρώτη θέση= 0.7
Πιθανότητες Γ για την δεύτερη θέση = (0.15 x 7/8.5) + (0.15 x 7/8.5) = 2 x 0.15 x 7/8.5 = 0.3 x 7/8.5
Ας εξετάσουμε τώρα, τι γίνεται με τον παίκτη Β. Οι πιθανότητες να βγει πρώτος είναι 15%. Οι πιθανότητες να βγει δεύτερος, υπολογίζονται ως εξής : Στο 70% των περιπτώσεων που έχει ο Γ για να βγει πρώτος, ο Β θα βγει δεύτερος τις μισές φορές, δηλαδή 0.7 x 0.5. Υπάρχει όμως και η περίπτωση του 15%, όπου θα τερματίσει πρώτος ο Α. Τότε, ο Β θα έχει πιθανότητες για την δεύτερη θέση έναντι του Γ ανάλογες με τα stacks, δηλαδή 150.000 / (150.000 + 700.000). Άρα:
Πιθανότητες Β για την πρώτη θέση = 0.15
Πιθανότητες Β για την δεύτερη θέση = (0.7 x 0.5) + (0.15 x 1.5/8.5)
Για τον παίκτη Α ισχύει ότι ακριβώς, ισχύει και για τον Β.
Ας υπολογίσουμε τώρα το equity του καθενός από τους τρεις παίκτες.
Equity Γ = (0.7 x 700000) + (0.3 x 7/8.5 x 300000) = 490000 + 74118 = 564118
Equity Β (ή Α) = (0.15 x 700000) + (0.7 x 0.5 x 300000) + (0.15 x 1.5/8.5 x 300000) = 217941
Διαιρούμε τώρα, το equity του κάθε παίκτη δια τον αριθμό των chips που διαθέτει, για να βρούμε πόσο αξίζει η μονάδα των chips σε πραγματικό χρήμα.
Αξία των chips του Γ = 564118 / 700000 = 0.81 (ευρώ)
Αξία των chips του Β (ή του Α) = 217941 / 150000 = 1.45 (ευρώ)
Συμπέρασμα
Όσο περισσότερα chips διαθέτουμε, τόσο μικρότερη είναι η αξία (σε πραγματικό χρήμα) του καθενός από αυτά. Άρα, το να χάσει ένα μεγάλο stack ένα συγκεκριμένο ποσό από τα chips του, στην πραγματικότητα, κοστίζει πολύ λιγότερο από αυτό που θα κόστιζε το ίδιο ακριβώς ποσό, σε ένα μικρό stack. Στην συγκεκριμένη περίπτωση, το να χάσει ο παίκτης Γ 100 chips, αντιστοιχεί σε απώλεια 81 ευρώ (ή δολαρίων). Για τον Β, η απώλεια των ίδιων 100 chips αντιστοιχεί σε απώλεια 145 ευρώ (ή δολαρίων).
Σ’ αυτό λοιπόν, στηρίζεται ο Μάλμουθ και ανατρέπει εντελώς, τα όσα προτείνει ο Σκλάνσκι. Αυτός που οφείλει να είναι ιδιαιτέρως συντηρητικός και προσεκτικός στα bets που κάνει, ισχυρίζεται, δεν είναι αυτός που έχει το μεγάλο stack, αλλά αντίθετα, αυτός που έχει το μικρό. Επομένως λοιπόν, όταν ένας παίκτης διαθέτει μεγάλο stack, δικαιούται απέναντι σε ένα μικρό, να κάνει bets τα οποία δεν θα κερδίζουν στην συντριπτική πλειοψηφία των περιπτώσεων. Ιδιαιτέρως, αν αυτά τα bets βάζουν το μικρό stack σε all in, οπότε αν χάσει, θα φύγει από το τουρνουά. Κάτι δηλαδή, που σε ένα κανονικό παιχνίδι είναι εμφανώς λάθος, στην συγκεκριμένη περίπτωση φαίνεται να είναι απολύτως σωστό! Και εδώ, ο Μάλμουθ σταματάει.
Ας συνεχίσουμε όμως, τον συλλογισμό, κι ας δούμε πως ένα μεγάλο stack πρέπει να αντιμετωπίζει ένα εξ’ ίσου μεγάλο. Η απάντηση υπάρχει ήδη, στα όσα αποδείξαμε παραπάνω. Έχουμε αποδείξει, ότι όσα περισσότερα chips συσσωρεύει κάποιος, τόσο η αξία του καθενός από αυτά μικραίνει. Έστω λοιπόν, ότι δύο εξ’ ίσου μεγάλα stacks βρίσκονται all in. Αυτός που θα κερδίσει, θα διπλασιάσει τα chips του. Διπλάσια όμως chips, καθόλου δεν σημαίνει και διπλάσιο equity. Ένα μέρος του χάνεται. Και που πηγαίνει; Φυσικά, στα υπόλοιπα, που είναι τα μικρότερα stacks. Άρα, όταν δύο μεγάλα stacks συγκρούονται, αυτά που επωφελούνται στην πραγματικότητα, είναι τα μικρότερα. Αυτό συνεπώς, θα πρέπει να μας οδηγεί σε πολύ πιο συντηρητικές επιλογές και άρα, στην συγκεκριμένη περίπτωση, ο ισχυρισμός του Σκλάνσκι φαίνεται να είναι απολύτως αληθής.
Βρήκατε τη λύση; Αν όχι, δεν πειράζει, γιατί, αυτό ακριβώς θα κάνουμε τώρα. Ξαναγυρίζουμε λοιπόν, στο τουρνουά. Έχουμε πει, ότι έχουν απομείνει τρεις παίκτες, εκ των οποίων πληρώνονται οι δύο, η πρώτη θέση παίρνει 700.000 ευρώ, η δεύτερη 300.000 και η κατάσταση έχει ως εξής:
STACKS EQUITIES
Παίκτης Α : 150.000 chips 217.941 ευρώ
Παίκτης Β : 150.000 >> 217.941 >>
Παίκτης Γ : 700.000 >> 564.118 >>
Ο Α κρατάει A – J και ανακοινώνει all in. Ο Β κάνει fold. Ο Γ, κρατάει Κ – 10s. Οι πιθανότητες του Κ – 10s, απέναντι στον A – J είναι 41.5 προς 58.5. Σύμφωνα με τον Malmuth, το σωστό είναι, ο Γ να κάνει call. Ας του επιτρέψουμε λοιπόν, να το κάνει και ας δούμε τι θα συμβεί.
1. Ο Γ κάνει call και κερδίζει. Τώρα τα stacks διαμορφώνονται ως εξής :
Παίκτης Α : 0
Παίκτης Β : 150.000
Παίκτης Γ : 850.000
Το equity του Α είναι 0.
Το equity του Β είναι : (0.15 x 700000) + (0.85 x 300000) = 360000 ευρώ.
Το equity του Γ είναι : (0.85 x 700000) + (0.15 x 300000) = 640.000 >>
2. O Γ κάνει call και χάνει. Σ’ αυτήν την περίπτωση, τα stacks γίνονται :
Παίκτης Α : 300.000
Παίκτης Β : 150.000
Παίκτης Γ : 550.000 Και τα καινούργια equities είναι :
Equity A = (0.3 x 700000) + (0.55 x 3 / 4.5 x 300000) + (0.15 x 30 / 85 x 300000) = 335792 ευρώ.
Equity B = (0.15 x 700000) + (0.55 x 15 / 45 x 300000) + (0.3 x 15 / 70 x 300000) = 179196 ευρώ.
Equity Γ = (0.55 x 700000) + (0.3 x 55 / 70 x 300000) + (0.15 x 55 / 85 x 300000) = 484832 ευρώ.
Συνεπώς, η κατάσταση των δύο αντιπάλων έχει ως εξής:
Αν ο Α κερδίσει, στην πραγματικότητα κερδίζει την διαφορά των equities που είναι: 335792 – 217941 = +117851 ευρώ.
Αν χάσει, το ποσό που χάνει είναι : 0 – 217941 = -217941.
Αν ο Γ κερδίσει, το πραγματικό του κέρδος είναι και πάλι η διαφορά των equities : 640000 – 564118 = +75882 ευρώ.
Αν χάσει, οι απώλειες είναι : 484832 – 564118 = -79286 ευρώ.
Παρατηρούμε ότι πράγματι, οι απώλειες που θα έχει το μικρό stack αν χάσει, είναι δραματικά μεγαλύτερες από αυτές που θα έχει το μεγαλύτερο, στην περίπτωση που θα χάσει αυτό. Συγκεκριμένα, η απώλεια 150000 chips, για το μεν μικρό stack, ισοδυναμούν με πραγματική απώλεια 217941 ευρώ, ενώ για το μεγαλύτερο, με απώλεια μόλις 79286 ευρώ. Επί πλέον, το ποσό που θα κερδίσει τo μικρό stack (αν κερδίσει), θα είναι κατά πολύ μικρότερο από το ποσό που θα χάσει, αν η έκβαση της παρτίδας, δεν είναι ευτυχής. Αρκεί όμως αυτό, ώστε το call του Γ να είναι ένα στοίχημα θετικών προσδοκιών;
Ας το ελέγξουμε
Ανεξάρτητα από το τι συμβαίνει στον Α, για να έχει το στοίχημα του Γ θετικές προσδοκίες, θα πρέπει το ποσό που χάνει επί τις πιθανότητες που έχει για να χάσει, συν το ποσό που κερδίζει επί τις πιθανότητες να κερδίσει, να έχουν ως άθροισμα, θετικό αριθμό. Δηλαδή, θα πρέπει :
[(-79286) x 0.585] + [75882 x 0.415] > 0
Αλλά: (-46382.31) + (31491.03) = -14891,28 που είναι αρνητικός αριθμός.
Συνεπώς, το στοίχημα είναι αρνητικών προσδοκιών και η αποδοχή του εντελώς λανθασμένη. Για να έχει θετικές προσδοκίες, θα πρέπει :
(79286χ) < (75882ψ) → (79286χ / 75882) < ψ → 1.04χ < ψ → 1.04χ / ψ < 1 → χ / ψ < 1 / 1.04 → ψ / χ > 1.04
Αυτό σημαίνει ότι, για να αρχίσει το στοίχημα να γίνεται θετικών προσδοκιών, θα πρέπει ο Γ να ποντάρει μόνον όταν, όχι μόνον δεν έχει μειονέκτημα, αλλά όταν το πλεονέκτημα που έχει είναι μεγαλύτερο του 51 %!
Για όσους ενδιαφέρονται, το 51% προκύπτει ως εξής:
ψ / χ = 1.04 και χ + ψ = 1
Άρα : ψ = 1.04χ και χ + 1.04χ = 1 → 2.04χ = 1 → χ = 0.49 και ψ = 0.51
Μήπως λοιπόν, αυτό σημαίνει, ότι το συγκεκριμένο στοίχημα ευνοεί τον παίκτη Α ; Ασφαλώς και όχι, αφού οι απώλειες που έχει, είναι σαφώς μεγαλύτερες του Γ. Εξ’ άλλου, είναι εύκολο να το ελέγξουμε.
(-217941 x 0.415) + (117851 x 0.585) = (-90445.515) + (68942.835) = -21502.68
Συγκρίνετε αυτό το αποτέλεσμα, με το –14891.28 που είναι το αποτέλεσμα του Γ και θα διαπιστώσετε, πόσο χειρότερα, είναι τα πράγματα για τον Α. Ας βρούμε τώρα, το πλεονέκτημα που πρέπει να έχει ο Α, ώστε το στοίχημα να είναι θετικών προσδοκιών.
(217941χ) < (117851ψ) → (217941χ / 117851) < ψ → 1.85χ < ψ → ψ / χ > 1.85
ψ / χ = 1.85 και χ + ψ = 1
ψ = 1.85χ και χ + 1.85χ = 1 → 2.85χ = 1 → χ = 0.35 και ψ = 0.65
Για να έχει το all in του Α θετικές προσδοκίες, στην συγκεκριμένη περίπτωση, θα πρέπει να έχει πλεονέκτημα μεγαλύτερο του 65% !
Ποιος ευνοείται λοιπόν;
Μια ματιά στα equities αρκεί, για να σας δώσει την απάντηση. Ο μόνος που ευνοείται, και μάλιστα, ανεξάρτητα από την έκβαση της παρτίδας, είναι αυτός που δεν συμμετέχει! Οτιδήποτε και να συμβεί, το equity του Β αυξάνεται! Είναι κατά κάποιον τρόπο, σαν οι δύο άλλοι παίκτες να πληρώνουν γκανιότα στον τρίτο.
Συνεπώς, ο Μέισον Μάλμουθ δεν έχει δίκιο. Ωστόσο….. (πάντα υπάρχει ένα ωστόσο), δεν πρέπει να ξεχνάμε ότι στα τελικά στάδια ενός τουρνουά, υπάρχουν antes. Και ορισμένες φορές, πολύ υψηλά. Τα antes λοιπόν, δημιουργούν dead money, τα οποία, θα μπορούσαν να μετατρέψουν ένα κατά τα άλλα αρνητικών προσδοκιών στοίχημα, σε απολύτως θετικό. Επειδή λοιπόν, ένα μεγάλο stack έχει σαφώς λιγότερες απώλειες από αυτές που έχει ένα μικρό, ένα ελαφρώς ασύμφορο στοίχημα για το μεγάλο stack, μετατρέπεται (λόγω των antes και μόνον), πολύ πιο εύκολα, σε στοίχημα θετικών προσδοκιών.
Φυσικά, το ότι τα dead money μπορούν να μετατρέψουν ένα κακό στοίχημα σε καλό, το γνωρίζουν οι πάντες. Το πόσο εύκολα γίνεται αυτό, εξαρτάται αφ’ ενός μεν από την διαφορά των stacks, αφ’ ετέρου δε, από το ύψος των antes. Όσο μεγαλύτερη η διαφορά και όσο υψηλότερα τα antes, τόσο το καλύτερο για εκείνον, που διαθέτει τα περισσότερα chips. Αντίθετα, αν τα μικρά stacks θελήσουν να αντιμετωπίσουν το μεγάλο stack του τραπεζιού, για να το τολμήσουν, χρειάζονται ένα πραγματικά τεράστιο πλεονέκτημα. Επομένως, εφ’ όσον υπάρχουν antes και μόνον τότε, ένα μεγάλο stack δικαιούται να είναι πιο loose, λαμβάνοντας όμως, πάντα υπ’ όψιν του, ότι σε κάθε περίπτωση, ένα μεγάλο μέρος των κερδών του θα καταλήξει στους μη συμμετέχοντες. Μάλιστα, όσο μεγαλύτερο το stack, τόσο μεγαλύτερο θα είναι και το ποσό που θα…. χαρίζει στους φτωχότερους συμπαίκτες του.
Τα τουρνουά, είναι πιο δίκαια από τον πραγματικό κόσμο. Και εν τέλει, η αλήθεια βρίσκεται κάπου στην μέση.
Δείτε επίσης
- ΟΦΗ – Βολος προγνωστικα 🔼 20/04/2024
- Ατρομητος – Κηφισια προγνωστικα 🔼 20/04/2024
- Χαιντενχαιμ – Λειψια προγνωστικα 🔼 20/04/2024
- Κολωνια – Νταρμσταντ προγνωστικα 🔼 20/04/2024
- Μαντσεστερ Σιτι – Τσελσι προγνωστικα 🔼 20/04/2024
*ΙΣΧΥΟΥΝ ΟΡΟΙ & ΠΡΟΫΠΟΘΕΣΕΙΣ
**ΑΦΟΡΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΟΓΗ «ΝΙΚΗΤΗΣ ΑΓΩΝΑ» ΠΡΙΝ ΤΗΝ ΕΝΑΡΞΗ ΣΕ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΠΑΙΧΝΙΔΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΕΙΔΙΚΗ ΕΝΔΕΙΞΗ
21+. ΑΡΜΟΔΙΟΣ ΡΥΘΜΙΣΤΗΣ: UKGC. ΑΡΜΟΔΙΑ ΑΡΧΗ ΕΠΟΠΤΕΙΑΣ ΕΜΠΟΡΙΚΗΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ: ΕΕΕΠ. Η ΣΥΧΝΗ ΣΥΜΜΕΤΟΧΗ ΣΤΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΚΘΕΤΕΙ ΤΟΥΣ ΣΥΜΜΕΤΕΧΟΝΤΕΣ ΣΤΟΝ ΚΙΝΔΥΝΟ ΕΘΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΠΩΛΕΙΑΣ ΠΕΡΙΟΥΣΙΑΣ. ΓΡΑΜΜΗ ΒΟΗΘΕΙΑΣ: 2109237777
